Session normale 2021

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On a considère la fonction `f` définie sur `[0,+infty[` par :

`f(x) = 2xlnx-2x text{ si } x > 0 `

`f(0)=0 `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) ` et `abs(abs(vec(i))) = 1 `

1)Montrer que `f` est continue à droite en `0`

2 a) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) `

b) `lim_{ x to +infty} (f(x))/x ` puis interpréter le résultat obtenu

c) `lim_{ x to 0^+ } (f(x))/x ` puis interpréter le résultat obtenu

3) a) Calculer `f'(x)` pour tout ` x in ]0,+infty[`

b) Dresser le tableau des variations de `f` sur `D_f `

4 a) Résoudre dans `]0,+infty[` les équations `(E_1) : f(x)= 0` et `(E_2) : f(x)= x `

b) Tracer la courbe `C_f`

5 a) Par intégration par parties montrer que `int_1^e xlnx dx =(1+e^2)/4 `

b) En déduire `int_1^e f(x)dx `

6a) Déterminer la valeur minimale de `f` sur `]0,+infty[`

b) En déduire que pour tout ` x in ]0,+infty[ lnx >= (x-1)/x`

7) Soit `g` la restriction de la fonction `f` sur l intervalle `[1,+infty[`

a) Montrer que `g` admet une fonction réciproque `g^(-1)` définie sur un intervalle `J` à déterminer

b) Tracer la courbe `C_{g^(-1)}`

8) On considère la fonction `h` définie sur `R` par :

`h(x)= x^3+3x text{ si } x <= 0 `

`h(x)= 2xlnx-2x text{ si } x > 0 `

a) Etudier la continuité de `h` en `0`

b)Etudier la dérivabilité de `h` à gauche en `0` puis interpréter le résultat obtenu

c) la fonction `h` est elle dérivable en `0` Justifier

1) Montrer que `f` est continue à droite en `0`

On a `lim_{ x to 0^+} f(x)= lim_{ x to 0^+} 2xlnx -2x = 0 `

car `lim_{ x to 0^+} -2x= -2xx0 = 0 ` et `lim_{ x to 0^+} 2(xlnx)=2xx0 = 0 `

`=> lim_{ x to 0^+} f(x)= 0= f(0) `

et par suite `f` est continue à droite en `0^+`

2 a) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) `

On a `lim_{ x to +infty} f(x)= lim_{ x to +infty} 2x(lnx-1) = +infty `

car ` lim_{ x to +infty} 2x= +infty ` et ` lim_{ x to +infty} (lnx-1)= +infty `

`=> lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

b) Calculer `lim_{ x to +infty} (f(x))/x ` puis interpréter le résultat obtenu

On a `lim_{ x to +infty} ( f(x))/x = lim_{ x to +infty}( 2x(lnx-1) )/x `

` = lim_{ x to +infty} 2(lnx-1) = +infty `

car ` lim_{ x to +infty} (lnx-1)= +infty `

`=> lim_{ x to +infty} (f(x))/x= +infty `

Interprétation géométrique

la courbe `C_f` admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des ordonnées au voisinage de `+infty `